估平均數嘅 2/3

揀個數字。今個星期，最接近所有人平均數 2/3 嘅人就贏。免費，唔使登記。

由 Helibrain 團隊撰寫由Robert(英文)審閱，生物物理學博士候選人發佈於 最近審閱於

點樣睇你嘅結果

  • 你嘅思考層級顯示你諗多咗幾步。估近 50 係第 0 層：冇諗其他人會點估。估近 33 係第 1 層：「其他人會估 50 左右」。估近 22 係第 2 層：「其他人會再諗多一步」。每一層都係上一層嘅 2/3 [1]。
  • 博弈論嘅答案係 0。如果所有人都一路推理落去，每個估算都會縮到 0。現實玩家唔會咁做，所以公開比賽從來冇試過由 0 贏 [1][2]。
  • 一定贏唔到嘅數字：高過 66.7 嘅估算一定贏唔到，因為就算所有人都估 100，目標都只會係 66.7。
  • 今週贏家會喺回合完結後公布（每回合一星期，由星期一到星期日，UTC）。之前我哋唔會公開即時平均數，免得破壞遊戲。至少要有 30 位玩家，回合先會有結果。

估幾多最好？

冇一個數字一定最好，要睇其他人估乜。大型公開比賽嘅目標大約喺 13 至 22 之間。Financial Times 讀者嘅平均數係 18.9，所以目標係 12.6 [2]。丹麥報紙比賽有 19,196 位讀者，平均數係 32.4，目標係 21.6 [3]。

長條圖：4 場已刊登比賽嘅平均估算同目標。1995 實驗室研究：平均數 36.7，目標 24.5。Politiken 2005：平均數 32.4，目標 21.6。Spektrum 1997：平均數 22.1，目標 14.7。Financial Times 1997：平均數 18.9，目標 12.6。
圖 1. 4 場已刊登比賽嘅平均估算同 2/3 目標。資料來源：Nagel 1995 年第一回合，67 位學生 [1]；Politiken 2005 年，19,196 位讀者 [3]；Spektrum der Wissenschaft 1997 年，2,728 位讀者；Financial Times 1997 年，1,476 位讀者 [2]。

快速資料

  • 呢個遊戲反映乜嘢：你會諗多幾步去估其他人會點做。經濟學家稱之為 level-k 思考 [1][4]。
  • 經典實驗：Rosemarie Nagel 1995 年研究嘅第一回合，學生平均估 36.7，最常見嘅估算集中喺 33 同 22 左右 [1]。
  • 大型比賽：1,476 位 Financial Times 讀者平均估 18.9（勝出估算係 13）；19,196 位 Politiken 讀者平均估 32.4 [2][3]。
  • 大家偏向估 33：2015 年《紐約時報》一個有約 56,000 位讀者參加嘅版本，33 係最多人估嘅數字 [5]。
  • 呢個想法嘅來源：經濟學家 John Maynard Keynes 將股市比喻成選美比賽：你要揀其他人會揀嘅面孔先會贏 [6]。

遊戲玩法

  1. 揀一個整數，由 0 到 100，然後確認。
  2. 今個星期所有人嘅估算會喺回合結束時攞嚟計平均數，目標就係平均數嘅 2/3。
  3. 估得最近就贏。估算打和就一齊贏。星期一，網頁會顯示上星期嘅玩家人數、平均數、目標、勝出估算，同埋每個數字有幾多人估。

每個人每回合只計一次估算。我哋會按瀏覽器同網絡連線計，每個瀏覽器同每條網絡連線每星期只計一次，所以共用網絡嘅人（例如同一間學校、辦公室或家庭）每星期只計一次。第二次估算唔會計。你估完之後，頁面會即刻顯示你個數字喺思考階梯上嘅位置，以及放喺上面提到嘅經典比賽會有咩結果。

呢個遊戲量度乜嘢，源自邊度

經濟學家叫呢個遊戲做 p-選美比賽，呢度 p = 2/3。Rosemarie Nagel 喺 1995 年將佢變成著名嘅實驗室實驗 [1]。研究發現：人唔會一路推理到 0，但亦唔係亂咁估。大部分人諗一兩步就停：「佢哋諗住我會點諗」。

呢個想法就係人只會推理有限幾步去估其他人點諗，後來發展成 level-k 同認知階層策略思考模型 [4][7]。之後舉行、每場有幾千位讀者參加嘅報紙比賽，都見到 33 同 22 呢幾層思考，另外亦有一班人揀 0 或 1 [2]。

呢個遊戲可以同唔可以話畀你知嘅事

你嘅層級只係描述你喺一場遊戲入面嘅一次估算，唔係智力測驗；層級高啲亦唔代表更好。最緊要係估中人群會點揀，而人群通常諗一兩步就停。估第 4 層係幾聰明嘅推理，但通常會估到低過目標。

呢度嘅玩家係每星期嚟到網站嘅人，唔係固定樣本，所以目標會每星期變。經典比賽嘅規則有少少唔同：Financial Times 只准估整數，Politiken 同 Spektrum 就容許小數 [2][3]。

常見問題

估平均數 2/3 嘅答案係乜？

估平均數 2/3 冇固定答案。博弈論話係 0，因為每個玩家都有理由估得比其他人低。但現實中嘅人諗一兩步就停，所以已刊登比賽嘅勝出數字介乎 13 同 21.6 之間 [2][3]。最好嘅估算係你預計其他人平均會估幾多，再乘 2/3。

點解 0 冇贏過？

只有幾乎所有人都一路推理到盡頭，0 先會贏。現實比賽入面，好多人估 33 或 22 左右，亦有人估得好高，令平均數升高。Financial Times 比賽嘅平均數係 18.9，目標係 12.6，同 0 相差好遠 [2]。

「第 2 層思考者」係乜意思？

第 2 層思考者預計其他人會諗多一步（佢哋會估 33 左右），於是自己再諗多一步：33 嘅 2/3 大約係 22。喺 Helibrain 遊戲入面，你嘅層級就係階梯上面最接近你估算嘅一層（50、33、22、15、10）[1]。

我可以玩多過一次嗎？

可以，但每星期只有你第一次估算會計入回合。之後嘅估算會顯示喺階梯上，但唔會計分，所以冇人可以靠估好多次左右結果。新回合每逢星期一開始。

Helibrain 2/3 遊戲真係免費？

係。Helibrain 2/3 遊戲同每週結果都免費：唔使登記、唔使提供電郵，亦唔使付款。Helibrain 靠旗下應用程式賺錢，程式有免費方案同付費方案；玩呢個遊戲唔使用個程式。

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來源

  1. Nagel R (1995). Unraveling in guessing games: an experimental study. American Economic Review 85(5):1313–1326. www.jstor.org/stable/2950991
  2. Bosch-Domènech A, Montalvo JG, Nagel R, Satorra A (2002). One, two, (three), infinity, …: newspaper and lab beauty-contest experiments. American Economic Review 92(5):1687–1701. doi.org/10.1257/000282802762024737 1999 年工作論文：https://econ-papers.upf.edu/papers/438.pdf
  3. Schou A (2005). Gæt-et-tal konkurrence afslører at vi er irrationelle. Politiken, 22 September 2005. politiken.dk/oekonomi/art5698526
  4. Camerer CF, Ho T-H, Chong J-K (2004). A cognitive hierarchy model of games. Quarterly Journal of Economics 119(3):861–898. doi.org/10.1162/0033553041502225
  5. Quealy K (2015). How readers fared in Upshot's number puzzle. The New York Times, 20 August 2015. www.nytimes.com/2015/08/21/upshot/how-readers-fared-in-upshots-number-puzzle.html
  6. Keynes JM (1936). The General Theory of Employment, Interest and Money, chapter 12. London: Macmillan.
  7. Stahl DO, Wilson PW (1995). On players' models of other players: theory and experimental evidence. Games and Economic Behavior 10(1):218–254. doi.org/10.1006/game.1995.1031

呢頁由 Helibrain 團隊根據上面列出嘅研究撰寫，並於 2026年11月4日 由Robert(英文)（生物物理學博士候選人）審閱。資料來源有更新時，我哋亦會更新呢頁。